事实上 ， 我们不可能构造出一个观测装置来同时测量一个粒子沿多个轴的自旋 。 量子理论断言 ， 自旋观测器的这种特性实际上是自旋本身的特性：如果一个电子沿某个轴有一个确定的自旋 ， 那么它沿任何其他轴的自旋都是没有定义的 。
局部隐变量
有了对自旋的理解 ， 我们可以设计一个思想实验来证明贝尔定理 。 这里举一个纠缠态的具体例子：有一对总自旋为 0 的电子 ， 即无论沿哪个给定轴测量 ， 它们的自旋结果都是相反的 。 这个纠缠态的独特之处在于 ， 尽管总自旋沿各个方向都是一个定值 ， 但每个电子单独的自旋都是不确定的 。
假设这些纠缠态的电子被分开运至遥远的实验室 ， 并且这些实验室的科学家在进行自旋测量时可以任意旋转各自观测器的磁体 。 当两个团队沿着相同的轴测量时 ， 他们 100% 会得到相反的结果 。 但这是推翻定域性原理的证据吗？答案是不一定 。
爱因斯坦提出 ， 每对电子都可能带有一组相关的「隐变量」 ， 这些隐变量在同一时间指定粒子沿所有轴的自旋 。 这些隐变量在包含纠缠态的量子描述中是不存在的 ， 但量子力学可能并不完备 。
隐变量理论可以解释为什么同轴测量总是产生相反的结果 ， 同时又不违反定域性：对一个电子的测量不会影响另一个电子 ， 相反 ， 这一测量只是揭示一个隐变量预先存在的值 。
贝尔证明了：你可以通过沿不同的轴测量纠缠态粒子的自旋来推翻局部隐变量理论和定域性理论 。
首先 ， 假设一个实验室碰巧将其观测器相对于另一个实验室的观测器旋转了 180 度 。 这相当于翻转它的南极和北极 ， 因此 ， 一个电子的「up」结果永远不会伴随另一个电子的「down」结果 。 科学家们还可以选择旋转一个其他的角度 ， 比如 60 度 。 根据两个实验室磁体的相对方向 ， 产生相反结果的概率可能在 0% 到 100% 之间
在不指定任何特定方向的前提下 ， 假设两个团队就三个可能的测量轴达成了一致 ， 我们可以将其标记为 A、B 和 C 。 对于每一对电子 ， 每个实验室都沿着这三个测量轴的一个（随机选出）测量其中一个电子的自旋 。
现在我们假设隐变量理论是成立的 ， 量子力学不成立 。 这样的话 ， 每个电子在三个方向上都会有自己的自旋值 。 这就引出了隐变量的八组可能值 ， 表示如下：

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例如 ， 序号是 5 的自旋值表示：第一个实验室的电子沿着 A 轴的测量结果将是「上」 ， 而沿着 B 轴和 C 轴的测量结果将是「下」；第二个电子的测量结果与之相反 。
对于 1、8 中的任意电子对 ， 两个实验室自旋值的测量结果总是相反 ， 不管研究者选择沿着哪个轴来测量 。 其他六组自旋值在 33% 的不同轴测量中都产生了相反的结果（还是以第 5 组为例 ， 当一个实验室沿着 B 轴测量 ， 另一个实验室沿着 C 轴测量时 ， 两个实验室将得到相反的结果；这代表了三分之一的可能选项 。 ）
因此 ， 在至少 33% 的时间里 ， 当沿着不同轴测量时 ， 两个实验室将得到相反的结果 。 也就是说 ， 它们得到相同结果的概率不超过 67% 。 这一数字是局部隐变量理论所允许的上限 ， 也是贝尔定理的核心不等式 。
超出上限
有了这个实验设计 ， 我们感兴趣的是两个实验室在沿着不同轴测量电子自旋时究竟有多大概率能得到相同结果 。 量子理论的方程提供了这个概率的公式 ， 这个概率是测量轴之间的角度的函数 。
根据这个公式 ， 当三个坐标轴之间的距离尽可能的远 ， 即三条轴成 120 度角（类似奔驰车标） ， 两个实验室 75% 的情况下会得到相同的结果 。 这超出了贝尔不等式 67% 的上限 。