L2是闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间 。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数 。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等 。这样就把问题归结为L1了 。后面就不用再重复了 。
所以说，向量是很厉害的，只要你找到合适的基，用向量可以表示线性空间里任何一个对象 。这里头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息 。为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此 。这是另一个问题了，这里就不说了 。
下面来回答第二个问题，这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题 。线性空间中的运动，被称为线性变换 。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成 。那么，线性变换如何表示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换） 。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量 。简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动 。是的，矩阵的本质是运动的描述 。如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述 。
可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩阵吗？这实在是很奇妙，一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示 。能说这是巧合吗？如果是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的关系 。
接着理解矩阵，上面说“矩阵是运动的描述”，到现在为止，好像大家都还没什么意见 。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转 。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的 。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学 。大家口口相传，差不多人人都知道这句话 。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多 。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念 。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了 。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来 。
因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了 。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》 。我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理 。不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化 。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点 。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的 。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为 。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到 。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁” 。因此这句话可以改成：“矩阵是线性空间里跃迁的描述” 。可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象 。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换，来描述这个事情 。这样一说，大家就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁 。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁 。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁 。

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