1.3、多元高次方程组与“四元术”
绝不是所有的问题都可以归结为线性方程组或一个未知量的多项式方程来求解 。实际上，可以说更大量的实际问题如果能化为代数方程求解的话，出现的将是含有多个未知量的高次方程组 。
1.4、一次同余方程组与“中国剩余定理”
中国古代数学家出于历法计算的需要，很早就开始研究形如：
X≡Ri(modai)i=1,2,...,n(1)
(其中ai是两两互素的整数)的一次同余方程组求解问题 。公元4世纪的《孙子算经》中已有相当于求解下列一次同余组的著名的“孙子问题”：
X≡2(mod3)≡3(mod5)≡2(mod7)
《孙子算经》作者给出的解法，引导了宋代秦九韶求解一次同余组的一般算法——“大衍求一术” 。现代文献中通常把这种一般算法称为“中国剩余定理” 。
1.5、插值法与“招差术”
插值算法在微积分的酝酿过程中扮演了重要角色 。在中国，早从东汉时期起，学者们就惯用插值法来推算日月五星的运动 。起初是简单的一次内插法，隋唐时期出现二次插值法(如一行《大衍历》，727年) 。由于天体运动的加速度也不均匀，二次插值仍不够精密 。随着历法的进步，到了宋元时代，便产生了三次内插法(郭守敬《授时历》，1280年) 。在此基础上，数学家朱世杰更创造出一般高次内插公式，即他所说的“招差术” 。朱世杰的公式相当于
f(n)=n△+n(n-1)/2!△2+n(n-1)(n-2)/3!△3+n(n-1)(n-2)(n-3)/4!△4+……
这是一项很突出的成就 。
这里不可能一一列举中国古代数学家的所有算法，但仅从以上介绍不难看到，古代与中世纪中国数学家创造的算法，有许多即使按现代标准衡量也达到了很高的水平 。这些算法所表达的数学真理，有的在欧洲直到18世纪以后依赖近代数学工具才重新获得(如前面提到的高次代数方程数值求解的秦九韶程序，与1819年英国数学家W.霍纳重新导出的“霍纳算法”基本一致；多元高次方程组的系统研究在欧洲也要到18世纪末才开始在E.别朱等人的著作中出现；解一次同余组的剩余定理则由欧拉与高斯分别独立重新获得；至于朱世杰的高次内插公式，实质上已与现在通用的牛顿-格列高里公式相一致) 。这些算法的结构，其复杂程度也是惊人的 。如对秦九韶“大衍求一术”和“正负开方术”的分析表明，这些算法的计算程序，包含了现代计算机语言中构造非平易算法的基本要素与基本结构 。这类复杂的算法，很难再仅仅被看作是简单的经验法则了，而是高度的概括思维能力的产物，这种能力与欧几里得几何的演绎思维风格截然不同，但却在数学的发展中起着完全可与之相媲美的作用 。事实上，古代中国算法的繁荣，同时也孕育了一系列极其重要的概念，显示了算法化思维在数学进化中的创造意义和动力功能 。以下亦举几例 。
1.6、负数的引进
《九章算术》“方程术”的消元程序，在方程系数相减时会出现较小数减较大数的情况，正是在这里，《九章算术》的作者们引进了负数，并给出了正、负数的加减运算法则，即“正负术” 。
对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤 。公元7世纪印度数学家也开始使用负数，但负数的认识在欧洲却进展缓慢，甚至到16世纪，韦达的著作还回避负数 。
1.7、无理数的发现
中国古代数学家在开方运算中接触到了无理数 。《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开”，《九章算术》的作者们给这种不尽根数起了一个专门名词——“面” 。“面”，就是无理数 。与古希腊毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线不是有理数时惊慌失措的表现相比，中国古代数学家却是相对自然地接受了那些“开不尽”的无理数，这也许应归功于他们早就习惯使用的十进位制，这种十进位制使他们能够有效地计算“不尽根数”的近似值 。为《九章算术》作注的三国时代数学家刘徽就在“开方术”注中明确提出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法，他称之为“求微数法”，并指出在开方过程中，“其一退以十为步，其再退以百为步，退之弥下，其分弥细，则……虽有所弃之数，不足言之也” 。

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