a × 2a × 3a × … × (p – 1) × a ≡ 1 × 2 × 3 × … × (p – 1)(mod p)
意味着
a??1 × (p – 1)! ≡ (p – 1)!(mod p) 。
从这个表达式的两边消去(p – 1)!，我们得到：
a??1 ≡ 1 (mod p) 。
用群论证明
用群论证明费马小定理，考虑到集合G ={1，2，…，p?1}用乘法运算形成一个群 。在四个群公理中，唯一需要验证的是第四个公理，即G中的元素是可逆的 。想了解详细 内容可以看这篇文章：由浅入深，轻松理解抽象代数的重要分支——群论
如果我们假设G中的每个元素都是可逆的，假设a在1≤a≤p?1的范围内，也就是说，假设a是G的一个元素 。设k是a的阶数，即使a?≡1 (mod p)为真时的最小正整数 。然后数字1，a，a2，…，a??1 约模p，形成G的一个序为k的子群，根据拉格朗日定理，k能整除G的阶数，即p?1 。对于正整数m，有p?1 = km，并且：
为了证明G与p互质的每个元素b都是可逆的，这个恒等式可以帮助我们如下 。因为b和p是素数，贝祖恒等式保证了有整数c和d使得bc + pd = 1 。对p取模，这意味着c是b的逆，因为bc≡1(mod p) 。因为b是可逆的，所以G中的其他元素也是可逆的，所以G必须是一个群 。
应用，素性测试
费马小定理将成为费马质数检验的基础，这是一种确定一个数是否为质数的概率方法 。例如，如果我们想知道n = 19是否为素数，随机取 1 < a < 19，假设a = 2 。计算n?1 = 18，及其因子是9和6 。我们通过计算21? ≡ 1 (mod 19)， 2? ≡ 18(mod 19)和 2? ≡ 7 (mod 19)来检验，最后发现19必须是素数 。

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