有乘法的单位元10 ， 使得对于任意有理数A ， 1a=a1=A；
对于不为0的有理数A ， 有一个乘法逆1/a ， 所以a(1/a)=(1/a)a=1 。
0A=0文字解释：一个数乘以0仍等于这个数 。
另外 ， 有理数是一个有序域 ， 即存在一个有序关系
有理数还是一个阿基米德场 ， 即对于有理数A和B ， a0 ， b0 ， 必须找到一个自然数N才能做成nba 。 不难推断不存在最大有理数 。
值得一提的是有理数的名字 。 “有理数”这个名字让人费解 。 有理数并不比其他数更“合理” 。 其实好像是翻译错误 。 有理数一词来源于西方 ， 在英语中是有理数num 。
ber ， 而rational通常的意义是“理性的” 。 中国在近代翻译西方科学著作 ， 依据日语中的翻译方法 ， 以讹传讹 ， 把它译成了“有理数” 。 但是 ， 这个词来源于古希腊 ， 其英文词根为ratio ， 就是比率的意思（这里的词根是英语中的 ， 希腊语意义与之相同） 。 所以这个词的意义也很显豁 ， 就是整数的“比” 。 与之相对 ， “无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数 ， 而并非没有道理 。
有理数加减混合运算
1.理数加减统一成加法的意义：
对于加减混合运算中的减法 ， 我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法 ， 这样就可将混合运算统一为加法运算 ， 统一后的式子是几个正数或负数的和的形式 ， 我们把这样的式子叫做代数和 。
2.有理数加减混合运算的方法和步骤：
（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法 。
（2）运用加法法则 ， 加法交换律 ， 加法结合律简便运算 。
有理数范围内已有的绝对值 ， 相反数等概念 ， 在实数范围内有同样的意义 。
一般情况下 ， 有理数是这样分类的：
整数、分数；正数、负数和零；负有理数 ， 非负有理数
整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达 ， 其中a、b都是整数 ， 且互质 。 我们日常经常使用有理数的 。 比如多少钱 ， 多少斤等 。
凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数 ， 又叫无限不循环小数设至少需要n个这样的点能把整个平面涂成黑色
(1)n=1显然不成立
(2)n=2不成立（楼主已找到反例）
(3)n=3 ， 则问题变成：在平面上找到三个点 ， 使平面上任取一点到这三点的距离中 ， 至少有一个距离为无理数
考虑到两点之间距离为l=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2] ， 若l为无理数 ， 则(x1-x2)^2和(y1-y2)^2中至少有一个为无理数
因此取点时必须取一种的特殊无理数 ， 称为无理超越数 。 比如e ， 比如π
我们取以下三点：
(0,0), (e,0), (π,0)
那么平面内任意一点(x,y)和这三点的距离分别为：
l1=√(x^2+y^2)
l2=√[(x-e)^2+y^2]
l3=√[(x-π)^2+y^2]
要使l1为有理数 ， 则有以下可能：
x^2 ， y^2均为有理数
x^2 ， y^2均为关于e的无理数
x^2 ， y^2均为关于π的无理数
x^2 ， y^2均为关于其他无理数的无理数
要使l2为有理数 ， 则有以下可能：
x^2 为有理数, y^2 为关于e的无理数,
y^2 为有理数, x^2 为关于e的无理数,
x^2, y^2 均为关于e的无理数
要使l3为有理数 ， 则有以下可能：
x^2 为有理数, y^2 为关于π的无理数,
y^2 为有理数, x^2 为关于π的无理数,
x^2, y^2 均为关于π的无理数
以上三种情况无交集 ， 故l1, l2, l3中至少有一个为无理数
所以 ， 至少需要三个点来把整个平面涂成黑色 。
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我没能找到一般性的证明方法 ， 只能找到这样的特例 。 有理数（rational number)：能精确地表示为两个整数之比的数．

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