文章插图

首先 ， 试证明多项式对应的高次方程有r重实根a时 ， 多项式的导函数对应的方程必有r-1重实根a 。
依题意 ， 我们可以假设多项式的形式为P(x)=h(x)(x-a)^r ， 由于原方程只有r重实根a ， 所以h(a)肯定不等于0 。
然后我们对原多项式求导 ， P’(x)=(x-a)^(r-1)[h’(x)(x-a)+rh(x)]. 这是积的求导公式的运用 ， 并且提取了公因式(x-a)^(r-1) 。
又当x=a时 ， [h’(x)(x-a)+rh(x)]|=rh(a)≠0 ， 所以a必是P’(x)=0 的 r-1重实根.
其实就算rh(a)=0 ， 也不会影响“a是P'(x)=0的重实根”的结论 ， 不过就不能确定a是P'(x)=0 的 r-1重实根 。

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