1924年 ， 这位数学家开始研究概率论和大数定律 。 大数定律是描述大量重复实验结果表现的一个理论 。 他证明了大数定律的一个版本(柯尔莫哥洛夫强大数定律) ， 独立同分布的随机变量变量适用于大数定律的充要条件是每个随机变量期望存在 。 柯尔莫哥洛夫是在和另外一位前苏联概率论顶级专家辛钦进行长期和卓有成效的合作后 ， 得到这个成果的 。
一般认为 ， 柯尔莫哥洛夫对概率论方面有一项影响重大的工作 ， 他给与了概率论以现代视角 。 他对概率论提出了一个公理化方案 ， 这项方案至今被绝大多数领域内专家接受 。
1925年 ， 这位杰出的数学家发表论文《排中律》 ， 这篇文章解决了两大数学哲学流派的争执：形式公理派和直觉主义派 。 柯尔莫哥洛夫证明了直觉主义中不能使用的(超限归纳中的)排中律并不一定破坏证明的构造性(排中律是说命题“A”和“非A”必有一件为真 ， 没有第三个可能) 。 他能够证明 ， 所有按照经典形式逻辑规则推导的公式 ， 通过特别的转换 ， 都可以化为直觉主义逻辑的可推导公式 。
1931年 ， 柯尔莫哥洛夫被推举为莫斯科大学教授 ， 1935年到1939年期间 ， 他担任该校数学力学研究所所长 。 1933年他提出了一种非参数检验的方法 ， 这个方法今天称为柯尔莫哥洛夫-斯米洛夫检验(K-S检验) 。 此方法可用于样本和参考概率分布的验证比对 。
军事研究
二战期间 ， 所有的研究都为军事服务 ， 柯尔莫哥洛夫研究了炮火的最佳散布策略(人工散布) 。 战后 ， 他重返了和平的研究 。 1930年代后期 ， 柯尔莫哥洛夫一直对湍流问题感兴趣 ， 他在1941、1942年和1962年的著作中对此进行了研究 。 他发展了“局部各向同性湍流”理论 ， 这些研究有助于进一步描述湍流的结构 。 1946年 ， 这位数学家在苏联科学院地球物理研究所建立了大气湍流实验室 。
1953年 ， 柯尔莫哥洛夫提出“算法”的一种新定义 。 这个定义的特别之处是 ， 问题本身和问题的解都以某种一维拓扑复形的形式表示 ， 算法过程的每个阶段都是将一个复形处理成另一个复形（通过特定的规则） 。
改革家
1960年代 ， 苏联领导人决定对数学教育和教学体系改革 ， 因为当时的数学课程教给学生的知识过于陈旧 ， 最新的数学成果完全没有涉及 。 柯尔莫哥洛夫在这些改革中发挥了非常重要的作用 。 在他的领导下 ， 新的课程和教材被开发出来 ， 并陆续再版 。
1976年 ， 柯尔莫哥洛夫在莫斯科大学力学数学系建立了数理逻辑部 。 1980年 ， 柯尔莫哥洛夫担任该部主任直到1987年逝世 。 纵观柯尔莫哥洛夫一生 ， 他获得了大量奖项和荣誉 ， 得到了广泛认可 ， 这些认可远远超出了数学界 。
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