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本期遴选论文
来源：The Journal of Portfolio Management February 2022
标题：The Gerber Statistic: A Robust Co-Movement Measure for Portfolio Optimization
作者：Sander Gerber, Harry M. Markowitz, Philip A. Ernst, Yinsen Miao, Babak Javid and Paul Sargen

组合优化中 ， 计算各资产之间的相关性 ， 即协方差矩阵是非常关键的一步 。 在Sander Gerber与Harry M. Markowitz的最新论文中 ， 提出了一种新的相关性度量指标Gerber统计量 ， 相对传统的协方差矩阵 ， 这个统计量的表现来的更加稳健 。
如何计算Gerber statistics
假设有 个证券标的 ， 个时间 。 令 表示标的 在时间 的收益率 。 对于在时间， 任意两个标的组合， 我们将它们的收益对 根据以下公式转换为联合变量 :
也就是说 ， 当标的 同向涨跌超过一定幅度 ，为1 ， 此时称 为concordant；逆向涨跌超过一定幅度 ，为-1 ， 此时称 为discordant；其他情况 ，为0 。 上式中 ， 标的 涨跌判断的阈值 的计算方法如下：
其中 为常数 ， 一般取 （也有可能取数学公式: 或 ） ，为标的 的收益率的标准差 。
综上 ， 我们定义Gerber统计量：
如果用 表示上式中concordant的数量 ，表示discordant的数量 ， 那边上式可以改写为：
从上等可以看出 ， 如果设 为0 ， 那么等式4计算的就是 Kendall's Tau相关系数 。
Gerber矩阵
有了Gerber统计量 ， 我们就有了Gerber矩阵 ， 我们用 表示 。 在矩阵 中 ， 第 行 列的值 表示标的 的Gerber统计量 。 同时 ， 我们用 表示所有标的在过去一段时间的收益率矩阵；用 表示 中收益率超过一定阈值（上限）的矩阵 ， 即：
那么各标的过去收益率超过上限阈值的次数就等于：
同样用 表示 中收益率低于下限阈值的矩阵 ， 即：
那么各标的过去收益率低于下限阈值的次数就等于：
最后定义同向变动次数矩阵 ：
逆向变动次数矩阵 ：
那按照等式4定义的Gerber统计量 ， Gerber矩阵可以写为：
其中 为Hadamard除法（位置对应） ， 且Gerber协方差矩阵为：
其中 是收益率标准差构成的对角矩阵 。
解决 矩阵非半正定的问题
在实证研究中 ， 我们发现根据等式9计算的Gerber协方差矩阵经常为非半正定矩阵 。 由此作者改进了Gerber统计量的计算方法 。 我们可以对任意两个资产 ，根据各自的上下限阈值把一个区域分为如下的9个部分：
那么等式4可以改下为如下等式10：
而上式的分母于等式11的分母等价 ， 在实践过程中 ， 由等式11计算的Gerber协方差矩阵均为半正定 。
Gerber统计量与Pearson相关系数的比较
1、相关系数基于所有历史数据进行计算 ， 而不管两者是否是同向涨跌 ， 这其中可能包括了部分噪音 ， 导致相关系数对较小的同向涨跌比较敏感 。
2、而Gerber统计量 ， 正如等式11的分母所示 ， 仅包含了显著涨跌的数据 ， 这使得Gerber统计量比Pearson相关系数更稳健 。