- 必然如此 ， 如果有严重后果 ， 那么就可以直接用反证法证明RH了 。
- 可与费马大定理的情况比较 。 费马大定理如果是错误的 ， 那么椭圆曲线就没有了modularity ， 这个给人的感觉不好 。 所以最终费马大定理更容易被证明 。
- 但是如果RH有反例 ， 只能说明许多需要靠假设RH成立的定理需要重新找方法证 ， 并不能说明这些定理是错误的 。
- 历史上有不少起初需要靠假设RH成立 ， 后来就不需要的例子 。 如Gauss的类数问题 ， 质数分解的算法 ， 等等 。
- 所以 ， RH实际属于 ， 如果成立非常好 ， 但如果不成立 ， 好像天也不会塌下来 ， 只能说明质数具有某种意想不到的「conspiracy」 。
- 因为容易写出和Riemann zeta长得很像而且也具有函数方程、解析延拓 ， 但是不满足相应RH的Dirichlet级数 ， 例如Davenport-Heilbronn的例子 。
- 对于函数方程 ， 我们在很多zeta函数上都已经会证 。 但是对于RH ， 我们连最简单的数论情况都不会证 。
- 由于函数方程的层面是poisson summation / trace formula ， 个人的感觉是 ， 可能trace formula并不足以对付RH 。 不过或许最广义的Langlands还是有可能在这里起作用 。
看上去很普通的Euler积 ， 其实是很神秘的 。 怎么正确用上Euler积是个问题 。
难点三：很难说出RH在模形式那边的对应物 。
- 很难说「一个满足RH的Dirichlet级数」在Mellin变换后会变成满足什么性质 。 所以这种道路似乎是困难的 。
- 经典的例子是Weil猜想的情况 。 由于2维的Weil猜想可以通过考虑C x C证 ， 所以许多人希望用类似的办法证RH ， 比如发展F_1然后看是不是可以把Z看成F_1 x_Z F_1 。 但目前还没有人知道怎么做 。 Deligne对于高维Weil猜想的证明 ， 实际在本质上也是类似的思路 。
- 而且这又涉及到一个经典问题：「frobenius in char. 0」是什么？无法回答 。 Connes的非对易几何对此曾试图有话要说 。
- 总之 ， 几何的方法 ， 目前可以对付local field ， 对付char. p ， 对付函数方程 ， 但仍然很难对付global field的RH 。
- 还有一些很玄的方法 ， 比如随机矩阵 ， 比如SpecZ是三维的 ， 比如物理Hamiltonian的思路 ， 等等等等 。
- 大家知道 ， 面对很难的猜想 ， 大家攻击不进去 ， 都会在它旁边转来转去 ， 有时转来转去就自动开了 ， 更多的时候还是总得要暴力攻击进去 。 我觉得这些转来转去可能是越转越难 。
怎么把Euler积这个条件正确地用上？
如果不用上这个条件 ， 肯定不可能证出来RH 。 因为不用上就有反例 。
Naive地看 ， Euler积就是算术基本定理 ， 就是class number 1 ， 但然后又怎样呢 ， 不容易继续 。 也许先找到怎么证special value的系列猜想（Beilinson / Tamagawa etc）会相对简单些 。
总之 ， 「黎曼猜想」就像是一座巍峨的高峰 ， 162年来从未有人成功攀上 。
数学奇才Kumar Easwaran试图在峰顶插上自己「到此一游」的旗帜 。
最后却发现自己还在半山腰 。
参考资料：
【（转）162年难题，黎曼猜想被印度数学家迎刃而解？克雷数研所发出质疑】
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