Machin公式 这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现 。 他利用这个公式计算到了100位的圆周率 。 Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度 。 因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数 ， 所以可以很容易地在计算机上编程实现 。
Machin.c 源程序 还有很多类似于Machin公式的反正切公式 。 在所有这些公式中 ， Machin公式似乎是最快的了 。 虽然如此 ， 如果要计算更多的位数 ， 比如几千万位 ， Machin公式就力不从心了 。 下面介绍的算法 ， 在PC机上计算大约一天时间 ， 就可以得到圆周率的过亿位的精度 。 这些算法用程序实现起来比较复杂 。 因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算 ， 要用FFT(Fast Fourier Transform)算法 。 FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n)) 。
Ramanujan公式 1914年 ， 印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式 ， 这是其中之一 。 这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度 。 1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位 。 1989年 ， David & Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为： 这个公式被称为Chudnovsky公式 ， 每计算一项可以得到15位的十进制精度 。 1994年Chudnovsky兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位 。 Chudnovsky公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法 Gauss-Legendre公式： 初值：重复计算： 最后计算： 这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度 ， 比如要计算100万位 ， 迭代20次就够了 。 1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位 ， 创出新的世界纪录 。 Borwein四次迭代式： 初值：重复计算： 最后计算：这个公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年发表 ， 它四次收敛于圆周率 。
Bailey-Borwein-Plouffe算法 这个公式简称BBP公式 ， 由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表 。 它打破了传统的圆周率的算法 ， 可以计算圆周率的任意第n位 ， 而不用计算前面的n-1位 。 这为圆周率的分布式计算提供了可行性 。 1997年 ， Fabrice Bellard找到了一个比BBP快40％的公式： 3.1415926＜3.1415927圆的周长除以圆的直径
【圆周率的由来和意义是什么 圆周率的由来】具体请见百度百科：圆周率