先明确，度量空间和拓扑空间的定义：
可以从度量空间诱导出度量拓扑，过程如下：
接下来证明(X,B?)是拓扑空间：
证明B?满足拓扑条件1
证明B?满足拓扑条件2
证明B?满足拓扑条件3
综上，就证明了B?满足拓扑的所有条件，故(X,B?)是从度量空间(X,d)诱导出的拓扑空间，称B?为度量拓扑 。从B生产B?的方法刚好与从拓扑基生成拓扑的方法一致，因此B就是(X,B?)的一个拓扑基 。
以上充分说明每个度量空间一定是拓扑空间，但拓扑空间却不一定是度量空间，例如：平凡拓扑(X,{?,X})就不是距离空间 。
对于空间中给定的点x，测度空间给出了任何一个点到点x的距离，而拓扑空间只是给出了一些点的集合，利用集合的包含关系来区分这些集合中的点距离x的远近 。
可考虑地图上画等高线：
度量空间是明确的画出来了每条等高线，并标出了每条等高线的高度 。

文章插图
一、相关定义
拓扑空间的定义如下：
定义1.设X是一非空集合，X的一个子集族称为X的一个拓扑，如果它满足：
（1）都包含在中
（2）中任意多个成员的并集仍在中
（3）中有限多个成员的交集仍在中
度量空间的定义如下：
定义2.集合X上的一个度量是一个映射：,它满足
（1）正定性.,,,当
（2）对称性.,
（3）三角不等式.,
当集合X上规定了一个度量后，称为度量空间 。从相关定义中看出，若将度量空间中的开子集取作球形邻域，则拓扑空间是度量空间的推广 。常见的度量空间有下面的一些例子:
例1：欧氏空间赋予距离拓扑后为度量空间 。
例2：空间X赋予如下度量：，则X为度量空间 。
例3：对实数上的闭区间上连续函数空间，我们可以赋予如下最大模范数诱导的度量，即任意两个连续函数的的距离为这两函数差的最大模，同样对于可导函数，光滑函数都有类似的定义 。
例4：在辛几何中，在哈密顿微分同胚群中Hofer曾定义了如下度量：
从其诱导的范数称为Hofer范数，该范数是研究辛拓扑、辛嵌入的强有力武器 。
二、相关性质
度量空间中许多性质都发源于欧氏空间，它们满足、、、分离公理与、可数公理，但有许多性质到拓扑空间就不再保持 。例如可分性就不再保持 。
命题1：可分度量空间的子空间也是可分的 。
证明:不妨假设X是可分的度量空间，A是X的子空间，B为X的可数稠密子集 。下面证明为A的可数稠密子集 。
首先证明为A的可数子集 。因为B为可数子集，可数集的子集仍为可数集，所以为A的可数子集 。
其次证明为A的稠密子集，此时需要在子空间拓扑下讨论，即需证明A中任何开集与的交不空，由子空间拓扑定义，A中开集u为X中开集P与A的交，即.又因为B为X的稠密子集，即X的任何开集与B的交非空 。所以，从而得证 。
但可分拓扑空间的子空间一般是不可分的，例子参见[1] 。
仍有许多例子在度量空间中部成立，但在拓扑空间中是成立的 。比如在拓扑空间X中，序列，一般推不出，但在可余拓扑空间中，我们有如下命题：
命题2：在实数空间R中赋予如下的余可数拓扑，，若有序列，则当n充分大时 。
证明：在上，序列意味着对X的任意邻域u，当n充分大时，都在u中，而中的开集为可数集的余集 。故我们取U=，此U为包含x的开邻域,但U中不含，此与矛盾 。故当n充分大时 。
命题3：f为拓扑空间到实数的连续映射，其中，则f为常值映射 。
证明：假设f不是常值映射，即有实数c,d且和x,y有如下式子， 。我们取c,d的邻域u,v使得u,v均为开集且互不相交 。因为f为连续映射，所以开集的逆像为开集，记u,v的逆像集为p,q 。由拓扑的定义知且p,q有交集矛盾 。

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