为了更好地进行比较 ， 研究者转向了数学中的分岔理论 。 分岔是一种动态系统行为的质变 ， 通常表现为将一种状态分割为两种 。

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研究者还模拟了红蓝两组以恒定速度移动且彼此之间具有不同关系的智能体 。 图 1 中 ， 红蓝智能体随机移动 。 到了图 2 ， 红蓝智能体往同一方向飞行 ， 自发地打破了对称性并表现出群集行为 。 图 3 中 ， 当红蓝智能体相向移动时 ， 出现了类似的反群集相 。 到了图 4 ， 红蓝智能体开始了原地旋转 ， 形成另一种自发对称性破缺的情况 。
数学家绘制分岔图来分析系统状态如何对其参数的变化作出响应 。 通常情况下 ， 分岔可以隔离开稳定性与不稳定性 ， 还能够划分不同类型的稳定态 。 分岔在研究与数学混沌相关的系统中非常有用 ， 其中起始点的小变化可能导致结果出现较大的变化 。 通过一系列的分岔点 ， 系统从非混沌转移到混沌行为 。 分岔与相变存在长远的联系 ， 研究者正是在这种联系的基础上更好地理解了非互易性系统 。
【在不遵守牛顿第三定律的系统中，芝大学者发现奇异点与相变的联系】这意味着研究者还必须考虑能量布局 。 在统计力学中 ， 一个系统的能量布局展示出了空间中能量的转换（例如从势能转换为动能） 。 在平衡状态下 ， 物质的相对应能量布局的最小值 ， 即谷值 。 Fruchart 表示 ， 这种对物相的解释要求系统最终达到这些最小值 。
对于这项新研究 ， Vitelli 认为最重要的意义或许在于它揭示了物理学家和数学家用于描述不断变化系统的现有语言的局限性 。 当给定系统平衡状态时 ， 由于没有能量增加或损失 ， 统计力学根据能量最小化来构建行为和现象 。 但当系统失去平衡状态时 ， 则必须不能再用常见的语言来描述 ， 但仍可以在集体态之间进行转变 。 研究者的新方法放宽了一种基本假设 ， 即想要描述相变 ， 必须最小化能量 。
最后 ， Vitelli 说道 ， 「当我们假定没有互易性时 ， 则无法定义能量 。 我们必须将这些转变的语言重塑为动力学语言 。 」
原文链接：
https://www.quantamagazine.org/a-new-theory-for-systems-that-defy-newtons-third-law-20211111/