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菲尔兹奖得主Martin Hairer于2017年9月在海德堡桂冠论坛上讨论了双信封悖论 。
让我们来玩一个游戏：桌子上有两个信封 ， 其中一个信封内包含一定金额的钱 ， 另一个信封内的金额为它的两倍 。但你不知道这两个信封内各自包含的金额 。你可以拿走其中一个 ， 让这个信封中的现金归你 。但在你打开信封之前 ， 你还有一次改变选择的机会 。那么 ， 你应该坚持你最初选择呢？还是选择另一个信封？
如果你无法做出决定 ， 那不妨借助数学来找出答案 。我们可以计算一下换与不换信封 ， 你所能得到金额的期望值 。在概率论中 ， 期望值是一个理想化的平均值 ， 它反映的是某件事物可能结果的概率 。先假设你选中的信封中金额数为x ， 那么这意味着另一个信封中装的金额要么是2x ， 要么是x/2 ， 这两种金额的概率都是1/2 。所以如果换掉信封的话 ， 你所得金额的期望值为


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很显然 ， 这个结果大于x ， 所以应该换 。
但这样一来 ， 一个矛盾点就出现了 。如果在你换了一次信封之后还能再换一次呢？那么按照上述结论 ， 你应该继续换回来 。如果还有第三次、第四次、第五次……无数次这样切换信封的机会 ， 难道你应该永不停止地交换吗？如果这样的话 ， 最终你将被困在一个无限循环的交换过程中 ， 并且一分钱也得不到 。这便是概率论中的一个著名悖论：双信封悖论 。
那么 ， 刚才的推论是不是有什么问题？
【信封小游戏 游戏信封号】【一个解决方法】
我们将最先选择的信封标记为A ， 含有金额x；剩下的信封标记为B 。值得注意的地方是——在你还没有将信封A打开前 ， x并不是一个固定的量 ， 而是一个随机变量 。它可以是一大一小两个金额中的任意一个 。如果将较小的金额写作y ， 那么较大的金额数值则为2y 。因为A是你随机选择的信封 ， 因此A里含有较大或较小金额的概率都为50% 。这意味着信封A中的期望金额E(A)是


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之前我们说过 ， 信封B中的期望金额是


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但记住 ， x不是一个定值 ， 它可以取两个值中的任意一个 。如果信封B中含有的金额数值为2x ， 那么信封A则装有较少的金额 ， 在这种情况下x = y 。如果信封B中的金额为x/2 ， 那么信封A则装有较大的金额 ， 在这种情况下x = 2y 。
所以在上面的等式中 ， 第一个x真正代表的是y ， 而第二个x则代表2y 。也就是说 ， 等式中的两个x实际上是不同的 ， 所以根本就不该被加起来 ， 从而得到5x/4这一期望值 。
我们需要用y来代替等式中第一次出现的x ， 用2y来代替第二个x ， 得到


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这样一来E(A)= E(B) ， 也就是说交换信封不会带来收益 ， 坚持最初的选择或切换都不会产生任何影响 ， 也就不存在什么悖论 。
【如果你打开了A？】

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