基本不等式的几个公式基本不等式公式四个大小关系( 二 )

1111212111111xyxxyyxyxyxyxy?????????????????????????11111xy?????然后求当1xy??时，代数式1111xy???的最小值（3）整式变形成235xyy????，求代数式1223xyy???最小值（4）假设分式变形为2()(3)xyy???????的形式，保证x的系数与y的系数之比等于整式中的系数之比，即2==2+3?????，，1,=2????，分式变形为22223xyy???整式变形为2234xyy????，然后求22223xyy???的最小值。例3.（1）已知,xyR??，1xy??，求12xxy?的最小值；（2）已知??0,1x?，，求121xx??的最小值；【解析】这两个题目的变式又不同于之前的形式，（1）主要是分式的一个分子的系数不是一个常数，而是2xy的形式，因为比较接近我们使用基本不等式的形式，所以对另一个分子替换；（2）中好像是缺了整式，但仔细观察不难发现，其实分母之和为定值。【解析】（1）12221122xxyxyxxyxyxy?????????当且仅当2xyyx?时取等号（2）因为(1)1xx???，然后求121xx??的最小值例4.已知0a?，0b?，21ab??，则11343abab???取到最小值为．【解析】试题分析：令2(34)(3)(3)(43)abababab???????????????，∴131543225???????????????????????，∴111112312(3)34()[(34)(3)][]
3433435555343abababababababababab??????????????????322(3)34322553435abababab?????????，当且仅当212(3)34343ababababab????????????时，等号成立，即11343abab???的最小值是3225?．例5.已知正数0,0??ba满足311??ba，求ba?的取值范围。解析：方法一：由311??ba得abba3??，13???aab，由于0,0??ba，可得31?a，于是)31(9131131133113??????????????aaaaaaaaba3432)31(91)31(232)31(9131???????????aaaa，当)31(9131???aa，即32?a时取等号，ba??的取值范围是),34[??方法二：由311??ba得abba3??.又2)2(baab??，所以2)2(3baba???，即4(a+b)≤2)(3ba?，所以34??ba，即ba?的取值范围是),34[??方法三：由311??ba得13131??ba，34332323332)3131)((????????????abbaabbabababa，当且仅当abba33?，即32??ba时取等号，所以ba?的取值范围是),34[??方法四：由311??ba得abba3??（1）设tba??，则atb??，代入（1）式得)(3atat??整理得0332???ttaa，又由311??ba得31?a，即方程0332???ttaa在),31(??上有解，令ttaaag???33)(2，则??????????????????????0)31(31323034)3(33)(22gtttttaaag解得34?t，所以ba?的取值范围是),34[??方法五：轮换对称性：因为ba,的地位是样的，当取最值时，ba,在相等的时候取到：322311?????baba，所以最小值为34方法六：柯西不等式的推论：解：令??zba??min，????343113111122??????????zzbaba例6.已知,10??x求函数xxy???1412的最小值令：????
1243522223522542514141.1132222222????????????????????????????????
yxxyxyyxyxyxxyyxyxxyyxxyxyxyxxyxxxyxyx例7.已知0x?，0y?，0?z，且411yzx???，则xyz??的最小值为（）A.8B.9C.12D.16【解析】由0x?，0y?，0z?得，41()[()]()xyzxyzxyzyzx??????????45xyzyzx?????4529xyzyzx??????，当且仅当3,6xyz???时等号成立。选B 。例8.已知实数,mn，若0,0mn??，且1mn??，则2221mnmn???的最小值为（）A.14B.415C.18D.13思路：本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。考虑对所求表达式先变形再求值，可用分离常数法将分式进行简化。2241212121mnmnmnmn???????????，结合分母可将条件1mn??，变形为????214mn????，进而利用均值不等式求出最值【解析】：
222244114121212121mnmnmnmnmnmn?????????????????????4141322121mnmnmn?????????????????1214mnmn?????????????
414141112214121214421nmmnmnmnmn??????????????????????????????????????41129524214nmmn????????????????229122144mnmn???????，即2221mnmn???的最小值为14答案：A二、柯西不等式证明1.对于任意Rdcba?,,,恒有不等式??????22222dcbabdac????证明：构造向量????2222,,,,dcnbamdcnbam???????,,cos,nmnmnmnmbdacnm???????????所以得证，当两向量平行时，等号成立。对柯西不等式变形，易得????,222yxbayxybxa?????????????当ybxa?时，等号成立。当然我们也可以构造向量：??yxnybxam,,,?????????? 。证明2.已知,ab为正常数，ab?，??,0,xy???，求证：??222ababxyxy???≥（权方和不等式）证明：由于a，b，x，y均为正实数，而????

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