基本不等式的几个公式基本不等式公式四个大小关系( 三 )

222222222222abaybxaybxxyabababxyxyxy?????????????????≥，所以??222ababxyxy???≥．当且仅当22aybxxy?，即abxy?时等号成立．推广：若0,0??iiba，则????nnnnbbbaaabababa?????????????212212222121成立。当iiba??时，等号成立。若0,0,0???mbaii，则????mnmnmnmnmmmmbbbaaabababa?????????????????211211212111成立。当iiba??时，等号成立。注意观察，m成为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次。例1.求函数)20(cos8sin1)(?????xxxxf的最小值解析：????????
55cossin41cos4sin1cos8sin1)(2122232122321223????????xxxxxxxf例2.已知,12,,*???yxRyx求yx21?的最小值（）解析：9)2()21(22121221212???????yxyxyx）（例3.已知??Ryx,，且18??yx，则2211yx?的最小值为A28B64C264D125方法1：权方和不等式：111112121212()()qqqqnnqqqqnnaaaaaabbbbbb?????????????????得：333222221114(14)125(8)(8)xyxyxy???????方法2：大柯西不等式：0,0,0iiiabc???，则3333121212111222()()()()nnnnnnaaabbbcccabcabcabc?????????????????322221111(8)(8)()(14)xyxyxyxy???????方法3：利用导数：110,08xyy?????，22221111()(18)fyxyyy?????，3333331622[(2)(18)]()(101)(18)(18)yyfyyyyyy?????????????，min1()()12510fyf??例4.已知00xy??，，且191xy??，则xy?的最小值是_______．解析：yxyxyx???????2223131911）（?9??yx例5.已知0,0??yx，且12??yx，则yx11?的最小值是_______．解析：2232)21(221212111222???????????yxyxyxyx例6.已知0,0??yx，且292??yx，求yx?2的最小值。答案225例7.已知0,0??yx，且123??yx，求yx23?的最小值。答案25例8.求函数??291,0,122fxxxx??????????的最小值总结，已知axbyc??，求dexy?的最小值；或者已知decxy??，求axby?的最小值．权方和不等式可秒此类题目
cbeadbyaxbeadbybeaxadbybeaxadyexd2222)()(??????????
byaxbeadbybeaxadbybeaxadyexdc?????????222)(???byaxcbead2)(?四、因式分解+基本不等式+轮换对称性+参数方程例1.已知0,0??ba且3???baab，则ba?的最小值为（）解一：????????????621122114113??????????????????bababababaab当且仅当：,11???ba即3,3??ba时??6min??ba解二：（参数方程）解三：轮换对称性。解四：令61cot21tan2,1cot2,1tan2cot21,tan21??????????????????????bababa.例2.已知正实数,xy满足24xyxy???，则xy?的最小值为__________解：24xyxy???得：6)2)(1(42???????yxyxxy，令??cot62,tan61????yx得：3622cot61tan6?????????yx五、几个重要基本不等式以及万能Δ法(1)若aR?，则20,0aa??；(2)若,abR?，则222abab??（当且仅当ab?时等号成立）；(3)若,,abR??则2abab??（当且仅当ab?时等号成立）—基本不等式推广：若,,abR??则2221122abababab??????；当且仅当ab?时等号成立；应用：设,,abR??则“积为定值和有最小值”，“和为定值积有最大值” 。注意：“一正二定三相等”例1.已知,12??yx求22yxx??的最小值（）解法一：令??5404012222222222222???????????????????????mmmmmmmyyymymmymxmyxx解法二：??????????sincos21coscossincos21,1sincos2sin,cos?????????????rrrrrryrx;
451cos2sin21cos2sin2cos21cossincos2????????????????????也可三角函数求值域????
541121cos12sinsincos21cos22?????????????mmmmmm?????例2.设,5,0,0????baba则31???ba的最大值（）解法一：23231231????????baba解法二：3,1;9,1,133,112222???????????????yxyxybxaybxa圆心到直线yx?的距离，23,32???????yxtrtd当且仅当,yx?即23,27,31??????baba例3.已知0,0xy??，且115xyxy????，则xy?的最大值是________思路：本题观察到所求xy?与11xy?的联系，即2114112xyxyxyxy???????，代入方程中可得：????????245540xyxyxyxy??????????，解得：14xy???，所以最大值为4 。答案：4例4.已知20ab??，则4(2)abab??的最小值为______________思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为??2bab?，所以可将a构造为??112222aabb?????????，从而三项使用均值不等式即可求出最小值：341818(2)3(2)3(2)2(2)2(2)aabbabbbabbabbab????????????????????思路二：观察到表达式中分式的分母??2bab?，可想到作和可以消去b，可得????2222babbaba???????????，从而244(2)aababa????，设??24faaa??，可从函数角度求得最小值（利用导数），也可继续构造成乘积为定值：??32244332222aaaafaaa??????? 。答案：3例5.已知ab?，且1ab?，则22abab??的最小值是解析：222222222abaabbabababab????????????例6.已知??,0,ab???，且21ab??，则2224sabab???的最大值是（）A.212?B.21?C.21?D.212?解析：22222222ababab???????????，??222222142222ababab??????????????22142ab?????212s???六、不等式精选试题1.以下基本不等式最值为什么错误？说明理由（）（1）4424?????xxxxy（2）????????????????????2,032sin3sin2sin3sin?xxxxxy（3）4104loglg2104loglg?????xxxxy2.已知0,?yx且42??yx,则??12?yx的最大值是（3）3.已知0,?yx且42??yx则yx12?的最小值是（2）4.已知0,?ba且12??ba则baba31431???的最小值是（5223?）5.已知0???cba则????cabbaabca?????1112的最小值是（6）6.已知52322??ba，则21222????bay最大值是（437）7.已知0,?yx且12??yx，则224131yxyxyx???最小值是（4）8.已知0,?yx且1019????yxyx，则yx?的最大值是（）解析：82???yx9.已知0???cba，则??2296442cacbaaaba?????的最小值为（D）A.4B.5C.52D.8解析：????21614144abababaaab???????，后用均值不等式10.已知0,?ba且111??ba则1911???ba的最小值是（6）11.若正数ba,满足112??ba，则1324???ba的最小值是（D)A.4B.23C.32D.6211.已知Rba?,且2??ba则111122???ba的最大值是（1）12.已知0,?yx且419211????yxyx则yx1673?的最小值是（41?）解析：

特别声明：本站内容均来自网友提供或互联网，仅供参考，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系，我们将在24小时内删除。

基本不等式的几个公式 基本不等式公式四个大小关系( 三 )

基本不等式的几个公式基本不等式公式四个大小关系( 三 )