基本不等式的几个公式基本不等式公式四个大小关系

【基本不等式的几个公式基本不等式公式四个大小关系】第三章：不等式(1)定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)定理(基本不等式)：如果a，b>0，那么a＋b2____ab，当且仅当______时，等号成立．也可以表述为：两个____的算术平均__________________它们的几何平均．(3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x，y，①如果它们的和S是定值，则当且仅当______时，它们的积P取得最____值；②如果它们的积P是定值，则当且仅当______时，它们的和S取得最____值．2．三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理如果a，b，c均为正数，那么a＋b＋c3____3abc，当且仅当________时，等号成立．即三个正数的算术平均________它们的几何平均．(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，...，an，它们的算术平均________它们的几何平均，即a1＋a2＋...＋ann____na1a2...an，当且仅当______________时，等号成立．3.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x?求23yxx??的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2324yxxx???，右侧依然含有x，则无法找到最值。①求和的式子→乘积为定值。例如：上式中24yxx??为了乘积消掉x，则要将3x拆为两个2x，则2223342222334yxxxxxxxx?????????②乘积的式子→和为定值，例如302x??，求????32fxxx??的最大值。则考虑变积为和后保证x能够消掉，所以??????2112329322322228xxfxxxxx???????????????（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：①若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）②若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。一、1的秒用命题特点分析：此类题目主要特点是：1、两个变量是正实数（使用基本不等式的前提），2、有一个代数式①的值已知，求另一个代数式②的最小值，其中两个代数式一个是整式axby?，一个是分式mnxy?，当然会在此基础上进行变形。解题方法荟萃：主要是凑出可以使用基本不等式的形式：yxxy???的形式，多数情况下是让两个代数式相乘。例题1.（1）已知,xyR??，21xy??，求12xy?的最小值；（2）已知,xyR??，23xy??，求12xy?的最小值；（3）已知,xyR??，322xy??，求62xy?的最小值；（4）已知,xyR??，2xyxy??，求2xy?的最小值；【解析】这四个题目中，（1）是“1的替换”的最基础题目，已知整式的值为1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换。【答案】（1）121222(2)()145249xyxyxyxyyx???????????当且仅当22xyyx?即13xy??时取等号（2）121121221(2)()145243333xyxyxyxyyx???????????（）（）当且仅当22xyyx?即13xy??时取等号（3）1323662=()(62)9218622yxxyxyxyxy?????????当且仅当63xyyx?即32+222xy??时取等（4）因为2xyxy??，所以121yx??，然后1242=(+2y)(+)=48xyxyxyxyx????当且仅当4xyyx?即24xy??时取等号例题2.（1）已知,xyR??，1xy??，求1213xy???的最小值；（2）已知,xyR??，1xy??，求2211xyxy???的最小值；（3）已知,xyR??，1xy??，求1223xyy???的最小值；（4）已知,xyR??，231xy??，求123xyy???的最小值；【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数。【答案】（1）整式变形成113xy????，12112132(1)22(13)()(12)1135133133yxxyxyxyxy????????????????????当且仅当32(1)=13yxxy????取等号（2）2222(1)2(1)1(1)2(1)

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