但是 ， 如果我们面前摆着一盒瓷砖 ， 却不能保证它们能拼在一起 ， 那该怎么办呢？我们能预测一个区域是否可以用它们密铺吗？[3
如果我们允许无限数量的瓷砖副本 ， 我们是否可以预测我们是否可以用它们来密铺整个平面？当然 ， 如果没有一个块可以彼此紧密贴合(例如圆盘 ， 或者具有与它们的突起不匹配的凹痕的拼块) ， 则很容易确定拼块不会贴合在一起以填充一个区域 。 但是如果有很多边“吻合” ， 我们能决定吗？这些关于密铺的基本问题有一个简单(尽管可能不令人满意)的答案：没有测试或算法可以显示任意一组拼块是否会密铺一个等于它们的总面积的区域(或者整个平面 ， 如果它们的总面积是无限的) 。 即使集合中的所有瓷砖都是单个形状的副本 ， 答案也是一样的；这仅仅意味着密铺是不可预测的 。 这是魅力的一部分 。 数学家(和工匠)知道有各种各样的形状可以密铺平面 ， 所以他们提出了关于具有特殊性质的密铺和镶嵌的问题[4
。 这些问题的答案可能会非常有用 。
最简单的镶嵌是所有拼块都是一个单一形状的副本 。 这些被称为单面镶嵌的镶嵌已被数学家们彻底研究过 ， 但仍有许多未解之谜 。 当我们讨论单面镶嵌时 ， 我们可以问许多关于其副本填充平面的单个形状(“原瓷砖”)的问题 。 也许最简单的密铺形状是凸多边形 ， 所以我们先问哪些凸多边形可以密铺平面 。 (在更精确的数学用语中 ， 我们问哪些凸多边形可以是单面镶嵌中的原瓷砖 。 )很容易证明 ， 任何三角形都可以密铺平面 ， 任何四边形(甚至非凸的)也可以 。 但是只有某些凸五边形可以(例如 ， 规则五边形不能) ， 而某些六边形可以 。 还可以证明 ， 没有具有七个或更多边的凸多边形可以密铺平面[5
。 确切地发现哪些凸六边形可以密铺平面(确切地说有三种类型；它们由它们侧面的条件和它们的角度来描述)归功于K. Reinhardt ， 他在1918年的论文包含了这个问题的解决方案 。 可以密铺平面的凸五边形的发现是一个跨越多年的传奇 ， 涉及数学家莱因哈特(1918年)和r .克什纳(1968年)的发现 ， 以及“业余爱好者”理查德·詹姆斯(1975年)、马乔里·赖斯(1976- 1980年)和研究生罗尔夫·斯坦(1985年)的发现(见图1) 。 尽管在传奇故事中至少有三次声称镶嵌平面的五边形列表是完整的(后来发现了更多) ， 但还没有确切的证据证明已知的14种类型都是可能的[6
。 马丁·加德纳的文章“凸多边形镶嵌”[7
很好地概述了这个故事 ， 文章“赞美业余爱好者”[8
讲述了赖斯在《科学美国人》的加德纳专栏中读到这个问题后如何追求这个问题的故事 。 这篇文章不仅证明了她的毅力 ， 也证明了她在调查这个问题时的独创性 。

图1：马乔里·赖斯发现的凸五边形镶嵌 。 每个五边形都与其镜像相连 ， 然而交换它们的反射并不是整个镶嵌的对称 。
一个形状能否密铺平面的问题与一个形状如何密铺平面的问题密不可分 。 几乎所有的数学问题(以及设计问题)都涉及到用一个单一的形状来镶嵌 ， 必须考虑到一个瓷砖围绕它自己的可能方式 。 在最简单的可能镶嵌的情况下 ， 只有一种方法可以包围瓷砖 ， 并且这是全等的碎片可以继续贴合在一起以镶嵌整个平面的唯一方法 。 这种瓷砖易于生产 ， 可能是那些想要简单且完全可预测的填充平面工作的人最想要的(图2) 。 但是 ， 当全等的碎片有不止一种方式组合在一起时 ， 拼接的可能性就变得非常有趣 ， 并提出了许多问题 。 如果一个瓷砖的副本可以填充平面的一个局部(甚至是一个非常大的局部) ， 那么这个瓷砖可以继续填充平面吗？如果整个平面可以被一个瓷砖的副本填满 ， 那么这个瓷砖是唯一的吗？如果不是 ， 那块瓷砖有多少种不同的镶嵌方法？虽然有时这些问题可以回答 ， 但对于某些瓷砖来说 ， 它们可能极难回答；没有通用的算法或测试可以应用于任何瓷砖[9