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图2：这些瓷砖的边缘只能以一种方式贴合在一起；这决定了平面的唯一密铺 。 请注意 ， 瓷砖的两侧对称在整个瓷砖中引入了反射对称 。 黑白相间的颜色产生了相反的图案 。
由五个正方形组成的十字是一种简单的瓷砖 ， 可以填充任意大小的平面 ， 但基本上只有一种方法来填充整个平面 。 如果仅仅一个十字被错误地放置 ， 密铺就不能完成(图3) 。 发现一块有独特镶嵌的瓷砖会带来特别的快乐——特别是如果这块瓷砖有许多“错误的开始”在这些错误的开始中 ， 瓷砖填充了一个补丁 ， 然后就不能添加额外的碎片了 。 罗杰·彭罗斯设计了一些具有简单形状的巧妙瓷砖(使用正六边形的部分边界)这样单个瓷砖的复制品可以以无数种方式“适合”但只有一种方法可以用它们完全铺满整个平面 。 1962年 ， 他向埃舍尔展示了一盒这种瓷砖的木制剪纸(图4 )并向他挑战如何解决这个难题 。 埃舍尔不仅解决了这个难题(找到了贴瓷砖的独特方法 ， 这样图案就可以继续填充平面) ， 而且他还制作了自己的版本 ， 基于彭罗斯的几何图形制作了一个“幽灵” ， 并为互锁的生物绘制了一幅彩图[10
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图3：本质上 ， 只有一种方法可以通过这个十字拼块来密铺整个平面：显示白色十字的连续排列 ， 或者这种排列的镜像 。 如果只有一个瓷砖放置错误(阴影十字) ， 瓷砖不能继续填充平面 。 虽然每个十字瓷砖有四个反射对称轴 ， 但在平面瓷砖中没有反射对称性 。
对于特定的瓷砖 ， 简单地尝试将它们的副本组合在一起可能会产生一个瓷砖 ， 但这种方法很少能够深入了解大型瓷砖类的属性 。 对于数学家来说 ， 很自然地会试图发现瓷砖的约束 ， 尽可能精确地描述各种类型或类别的瓷砖 ， 以满足特定的属性和微调定义 ， 以排除异常的例外 ， 似乎是普遍正确的 。 可能令人惊讶的是 ， 平面上的任何“普通”拼块都必须遵守几何约束 ， 无论这些拼块是相同的、不同的还是完全不同的 。 一个这样的约束是 ， 对于凸多边形平面的任何密铺 ， 必须至少有一个密铺有6个或更少的顶点 。 事实上 ， 即使拼块不是凸多边形 ， 通常也会有一个更强的条件：拼块必须包含无限个最多6个顶点的拼块(拼块的一个顶点是三个或更多的拼块相交的点)[11
。 这里值得注意的是 ， 尽管人们可能认为平面瓷砖的约束很容易导致类似的三维空间密铺的约束 ， 但实际情况并非如此 。 尽管拼接平面的凸多面体最多只能有6个顶点 ， 但凸多面体能够填充空间的面数上限是未知的 。 Peter Engel在1981年发现了一个带有38个面的凸填充空间 ， 它保持着目前最多面的记录 ， 但没有证据表明这是可能的最大的面数[12
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另一个约束适用于任何有限瓷砖的一块平面是欧拉定理说v + t = e + 1 v是顶点的数量的瓷砖瓷砖的数量和e是瓷砖的边的数量 。 (边是两个贴图的公共边界的一部分 ， 连接两个相邻的顶点 。 )在适当的假设下 ， 可以将此约束扩展到整个平面的密铺 ， 通过对密铺的一个小块形成v/t和e/t的比值 ， 然后取随着小块变大而覆盖整个平面的极限[13
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为了能够描述和分类大类镶嵌 ， 数学家们自然会将问题限制在具有特殊结构和有序性的镶嵌上 。 晶体内部结构的数学模型是原子排列在周期性晶格中 ， 所以(直到最近)几乎所有对镶嵌的数学研究都局限于那些周期性的 。 在周期镶嵌中 ， 总有一个镶嵌的极小拼块通过在两个不同的方向上反复平移来填充整个镶嵌 。 (可以先用拼块填充一个无限长的带 ， 然后平移带来填充平面 。 )