图4：罗杰·彭罗斯设计的一种拼块 ， 它只能向一个方向密铺平面 。 拼块及其镜像(阴影)形成一个单元 ， 可以重复旋转60 °以填充雪花形状；这12个小块可以通过平移来填充平面 。 这种镶嵌是非等面体的 ， 因为没有一种镶嵌的对称性可以将瓷砖映射到它的镜像 。


图5：埃舍尔 ， 第75号对称图 ， 印度墨水 ， 铅笔 ， 黑白颜料 ， 223x206毫米 ， 1949年 。 (左上)一幅埃舍尔的蜥蜴等面体密铺 。 密铺中的每只蜥蜴都以相同的方式包围；这提供了一个确定密铺的签名 。 描述这个签名的三种方式--埃舍尔的(左下)、希施的(中下)和古林鲍姆和谢泼德的(右下) 。
这种对局部（而非全局）结构的描述 ， 对于希望设计出能填满平面的等面体密铺的工匠来说是很自然的 。 通过阅读Heesch图表中的编码形状 ， 或者Grfinbaum和Shephard在他们的书《Tilings and Patterns》中的等面体密铺图 ， 人们可以轻松地创造出原始的等面体密铺 。 一个特别简单的方法是康威准则 ， 它产生的拼块仅仅通过对一些顶点和一些拼块边缘的中心施加180°的旋转就可以填满平面 。 康威标准拼块的边界有六个连续标记的顶点（A、B、C、D、E、F） ， 并满足以下条件：从A到B的边与从E到D的边通过平移相匹配 ， 其余的边BC、CD、EF和FA是中心对称的 。 一些顶点可以重合；至少需要三个不同的顶点 。 图5中埃舍尔的蜥蜴符合这个步骤；另一个符合标准的拼块显示在图6中[17
。 J.Baracs和N.Chourot在蒙特利尔大学开发了一个名为Mosedit的计算机程序 ， 根据Grunbaum和Shephard的分类 ， 协助创建等面体的密铺 。 用户选择一个拼块类型 ， 然后可以设计一个该类型的原始形状 ， 由计算机程序强制拼块的轮廓服从必要的约束 。

图6：康威标准拼块可以通过连续180°旋转来填充平面 。 这里显示的瓷砖正好有四条中心对称的边；与图5中的埃舍尔的蜥蜴相比 ， 另一个例子具有通过平移匹配的两条边连接的两条中心对称的边 。
在埃舍尔的基于每个瓷砖与其相邻副本的关系的规则镶嵌分类中 ， 他没有考虑反射对称性；这可能是因为他的生物形状的拼块很少有直边 ， 可以让它们反射到相邻的瓷砖上 。 然而 ， 他的几个镶嵌具有反射对称性 ， 这是通过使用双侧对称的拼块(如鱼、天使或蝙蝠)引入的 。 图2中的密铺显示了这种诱发的反射对称性 。 这就提出了一个有趣的问题:什么时候单个拼块的对称性必然会在等面镶嵌中引入类似的对称性 。 当然不总是这样:图3中的十字拼块有四个反射轴 ， 它们在四重旋转中心相交 ， 然而具有这种十字的独特平面瓷砖没有反射对称性(它有四重旋转对称性) 。 交叉瓷砖是超对称瓷砖的一个例子-它拥有额外的对称性 ， 这是任何瓷砖镶嵌所没有的 。 埃舍尔的一些鸟和鱼是超对称的或接近超对称的；他在他的画中注意到这一点 ， 说它们“明显是对称的” 。 不对称镶嵌何时在等面镶嵌中引入对称性(何时不引入对称性)是一个悬而未决的问题 。 事实上 ， 超对称瓷砖存在于哪种等面类型的问题和对于给定的等面类型瓷砖什么样的额外对称是可能的问题都还没有答案[18
。
很容易通过单个瓷砖产生非等面体镶嵌(即使像三角形这样简单的东西也可以) ， 也就是说 ， 不是每个瓷砖都以完全相同的方式包围 。 但是有没有只能以非等面体的方式填充平面的瓷砖？1900年 ， 在巴黎举行的国际数学家大会上 ， 大卫·希尔伯特提出了一系列重要的数学问题 ， 其中一个问题是他认为答案可能是否定的[19
。 然而答案是肯定的；Heesch在1935年提供了这种瓷砖的第一个例子 。 这些是非凸多边形 ， 有互锁的齿 。 图4中的彭罗斯瓷砖是这种瓷砖的另一个例子——这种瓷砖只有在形状被瓷砖的小块包围的情况下才能填充平面 ， 在整个瓷砖中重复无限次 。 然而 ， 这种重复不是周期性的 ， 不是通过重复平移而消除的(见图7) 。 试图理解这种镶嵌是如何产生的——某些形状如何与匹配规则一起只能非周期性地镶嵌——只是该领域中具有挑战性的问题之一[21