为了找出有多少不同种类的周期性镶嵌 ， 研究人员集中在这些镶嵌的整体顺序上 。 数学家使用保持形状的平面几何变换——等距——来描述这种整体秩序 。 这些变换是平移、旋转、反射和滑移反射 。 为了分析一个特定的周期性镶嵌 ， 数学家们试图了解是哪种等距变换了镶嵌 ， 从而使它精确地叠加在自身上 。 每个这样的几何变换称为镶嵌的对称性；镶嵌的所有对称的集合称为镶嵌的对称群 。 对称群不仅是几何变换的集合 ， 而且具有代数结构 。 镶嵌的周期性严重限制了除平移以外的对称的可能性；只有17种不同类型的周期性镶嵌对称群 。 按对称群分类提供了一种方便而直接的方法来对周期性镶嵌进行分类 。 对称群也提供了一种生成周期性镶嵌(以及周期性图案)的方法 ， 因为每个群都是由少数等距生成的 。 如果在平面上画出任何不对称的图形 ， 并且产生17个组之一的等距线重复作用于该图形 ， 将产生具有规定对称组的周期性设计[14
。 这意味着可以编写计算机程序 ， 自动生成指定的17种类型中任何一种的周期性镶嵌或图案[15
。
通过对称群对镶嵌进行分类的问题在于 ， 它没有给出关于镶嵌形状的任何信息 ， 没有给出关于所有镶嵌是相同形状还是几种不同形状的任何信息 ， 也没有给出关于一个单独的镶嵌如何被其他镶嵌包围的任何信息 。 在这种分类下 ， 测试两个周期性镶嵌是否“相同”就像在每个镶嵌上放置相同的结构线——结构线显示整个镶嵌的反射轴、旋转中心和滑动轴 。 如果掩模(如有必要 ， 在两个方向上分别缩放)符合两者 ， 则它们是相同的 。 我们没有学到关于瓷砖设计的视觉信息 ， 只知道它的对称性 。
当我们考虑所有全等分瓷砖的密铺时 ， 按对称群分类似乎特别不够 。 当密铺中的所有拼块都是单个形状的副本时 ， 拼块的部分边缘必须匹配 ， 因此可以向拼块的连续边缘分配匹配签名 ， 该签名描述这些边缘如何与围绕它的拼块的边缘匹配 。 仅仅知道如何包围一块瓷砖很少足以确定整个瓷砖(参见图3和图4中的十字瓷砖和彭罗斯瓷砖) 。 但是对于具有特殊属性的周期性密铺而言 ， 每个密铺都被其副本以相同的方式包围 ， 该签名足以确定整个密铺 。 埃舍尔称这种周期性密铺是“规则的”；数学家称它们为“等面体”或“密铺传递” 。 1977年 ， 布兰科·格伦鲍姆(Branko Grunbaum)和G·C·谢泼德(G.C.Shephard)回答了有多少种不同的等面体瓷砖类型的问题-81种截然不同的类型 。 这些数学家为等面体密铺引入了“邻接符号”的概念 。 为了产生该符号 ， 一个拼块的边缘连续地用字母标记 ， 然后依次列出与第一拼块周围的拼块的共享边缘相对应的字母 。 有趣的是 ， 早些时候 ， 数学家H·希施(H.Heesch)和平面艺术家埃舍尔(Escher)各自(独立)开发了其中一些瓷砖的分类系统 ， 基于描述每一块瓷砖是如何通过等距线与周围瓷砖相关的“本地签名” 。 这些等轴测线不仅提供了有关瓷砖如何适配的信息 ， 而且还约束了瓷砖边缘允许的形状 。 图5展示了埃舍尔的一种蜥蜴等面体镶嵌 ， 并说明了埃舍尔、希施、格里因鲍姆和谢泼德是如何描述它的[16
。 埃舍尔自己的示意图(其中一个标有钩子的平行四边形代表一只蜥蜴)将半转中心显示为小圆 ， 并通过钩子的方向指示给定的瓷砖是如何被其他瓷砖包围的 。 每个蜥蜴瓷砖都有四个顶点 ， 由瓷砖轮廓中的黑点标记 。 Heesch对瓷砖的标记显示 ， 两条边通过平移(T)匹配 ， 两条边是中心对称的(C)-这两条边的中点绕半圈使边与其自身匹配 。 Grfinbaum和Shephard的邻接符号显示了连续标记(a ， b ， c ， d)的有向边如何与具有相同标记的相邻瓷砖的边相匹配；+表示相同的方向 。